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La rencontre aura lieu en salle de conférence de l'IECL, au 2ème étage (plan d'accès). Les thèmes abordés seront variés et devraient intéresser un public large : interactions avec l'informatique, la physique, la médecine...
Pour des raisons d'organisation (pause déjeuner), si vous souhaitez participer à cette journée, merci de nous en faire part en écrivant à l'adresse : irene.marcovici à univ-lorraine.fr Exposés invités
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À partir de 9h : accueil des participant(e)s autour d'un café
Pause déjeuner
Pause goûter
On étudie une famille de processus de branchement, limites d'échelle d'automates cellulaires, dans lesquels des particules positives (resp. négatives) se déplacent à vitesse 1 (resp -1) et donnent naissance à des particules de charge opposée selon des processus de Poisson. Quand deux particules se rencontrent, elles se détruisent l'une l'autre avec probabilité α, la négative détruit la positive avec probabilité β, la positive détruit la négative avec probabilité γ et elles se croisent sans destruction avec probabilité δ. Les cas α=1 et β=γ=1/2 sont d'un intérêt particulier.
On s'intéresse aux distributions stables de ces processus : existence, unicité, propriétés.
Je présenterai un modèle « individu-centré » de dynamique adaptative qui a une large gamme d'applications biologiques et qui soulève de nouveaux défis mathématiques. Trois types d’acteurs sont considérés : les cellules cancéreuses, les cellules T, et un messager chimique (dont la présence induit un switch entre différents types de cellules cancéreuses). Ce système stochastique converge, dans la limite des grandes populations, vers une limite déterministe qui est la solution d'un système d'équations différentielles quadratiques (comportant une partie logistique, une partie prédateur-proie, et une partie « switch »).
Je discuterai trois exemples clés qui illustrent respectivement :
1) un phénomène de rechute causée par des fluctuations stochastiques,
2) un phénomène de mutation induite par la thérapie,
3) l'apparition d'une chaîne de Markov effective sur l'espace des génotypes dans la limite des grandes populations et des mutations rares. Ses taux de transition peuvent être calculés par l'intermédiaire d’une approximation de la population mutante par un processus de branchement multi-type, et d’un certain contrôle du système déterministe.
Travail en cours avec M. Baar, A. Bovier et H. Mayer, en collaboration avec des chercheurs en dermatologie de la Clinique Universitaire de Bonn rendue possible par le pôle d'excellence «Immunosensation».
Depuis le résultat de Howard et Newman (2001), nous savons que les arbres aléatoires géométriques tendus ont des branches infinies dans toutes les directions. Ils admettent en particulier un nombre infini de telles branches. Dans cet exposé, nous présentons une méthode générale assurant que le nombre moyen de branches infinies d'arbres aléatoires géométriques tendus est sous-linéaire. La preuve de ce résultat repose sur une approximation locale de l'arbre loin de l'origine par une forêt dirigée bien choisie, et sur le fait que cette forêt dirigée admet p.s. une seule fin topologique. Cette méthode sera appliquée à deux modèles d'arbres géométriques de natures très différentes.
Les quasicristaux sont souvent modélisés par des pavages apériodiques qui ont la propriété d'être caractérisés par leurs configurations locales (en dynamique symbolique, on parle d'espace de pavages de type fini). Une des critiques faites à ce modèle est qu'il est très difficile d'assembler tuile à tuile un tel pavage sans se tromper. Une variante est de procéder en deux temps : d'abord assembler tuile à tuile au hasard (sans respecter les contraintes sur les configurations locales), puis réordonner les tuiles par une sorte de recuit simulé - dans notre cas une chaîne de Markov assez simple. De la convergence de ce procédé dépend alors sa vraisemblance en tant que modèle physique. C'est à cette convergence qu'on s'intéressera dans cet exposé.
Dans cet exposé nous nous intéressons à des processus de branchement multitypes et à différents conditionnement limites. Un résultat classique dans le cadre des processus de Galton-Watson consiste à conditionner à la non-extinction, nous obtenons alors un processus limite appelé Q-processus. Il est également connu que sous certaines conditions le Q-processus est récurrent positif. Dans le cadre multitype, nous prouvons que sa mesure stationnaire, obtenue par définition par deux limites successives (retard de l'extinction puis limite en temps du Q-processus) correspond également à une double limite. Nous nous intéressons ensuite à différents types de conditionnement pouvant sembler similaires: conditionnement par l'atteinte d'un seuil ou d'un état non-nul fixé, et conditionnement par un effectif total infini. Nous prouvons que si le premier mène bien au même Q-processus, le second en revanche ne procure le même résultat que dans le cas où le processus de branchement est critique. Nous présentons la structure du processus limite obtenu dans le cadre non critique.
Considérons le graphe aléatoire d'Erdös-Rényi au point critique : n est le nombre de sommets et chacune des Cn2 arêtes possibles est présente indépendamment des autres avec probabilité p(n)=n-1+λn-4/3, où λ est un réel fixé. Lorsque n tend vers l'infini, Addario-Berry, Broutin et Goldschmidt ont montré que la collection des composantes connexes, convenablement renormalisées en masse et en distance, converge en loi vers une limite continue qui est une suite de graphes réels aléatoires étroitement liés à l'arbre brownien d'Aldous.
On considère maintenant le processus de percolation dynamique sur le graphe d'Erdös-Rényi. Chaque paire de sommets accueille, indépendamment des autres, un processus de Poisson d'intensité n-1/3. A chaque point du processus de Poisson correspond un raffraîchissement de l'état de la paire dans le graphe : on supprime l'arête éventuellement existante, puis avec probabilité p(n) on la remplace par une nouvelle. L'effet d'un tel processus sur les composantes connexes est celui d'un processus de fragmentation-coalescence : il fait se connecter différentes composantes connexes et se déconnecter certaines. Motivés par des questions de sensibilité au bruit, on étudiera la convergence en loi de ce processus, lorsque n tend vers l'infini, vers un processus de fragmentation-coalescence sur la limite continue.