Automates cellulaires, systèmes de particules, et auto-organisation

9h-10h : accueil des participant·e·s autour d'un café

L'auto-reproduction, l'auto-organisation, l'auto-réparation, etc., sont autant de propriétés attribuées aux organismes vivants que l'on souhaiterait "transférer" aux artefacts qui calculent. Les automates cellulaires ont même été inventés pour cela dans les années 1950. Pourtant, plus de soixante-dix ans plus tard, nous sommes encore loin de disposer d'une quelconque "théorie" qui permettrait de guider la construction d'objets calculants robustes ou autonomes. Y a-t-il une raison à cela ? Ou est-ce simplement qu' "il n'y a pas de Newton du brin d'herbe" ? Sans prétendre répondre définitivement à cette question, nous passerons en revue quelques modèles d'automates cellulaires stochastiques pour leur demander pourquoi et comment ils résistent à l'analyse.

On considère un modèle de parking aléatoire, que l'on appelle "golf aléatoire", et qui est défini sur un graphe fini connexe, ou infini connexe, sous certaines hypothèses. Chaque sommet du graphe est soit muni d'une balle, d'un trou, ou est considéré comme un sommet neutre, l'arrangement initial étant aléatoire. Les balles sont activées à tour de rôle, selon un ordre aléatoire uniforme. Une fois activée, une balle réalise une marche aléatoire jusqu'au premier trou libre qu'elle trouve, s'arrête, et l'occupe (elle est ensuite désactivée définitivement). Sur les graphes cycliques Z/nZ, on caractérise la loi des trous résiduels dans le cas où on tire l'arrangement initial uniformément parmi ceux ayant un nombres de balles et de trous fixés. On en déduit des résultats asymptotiques sur la distribution du processus des distances entre les trous résiduels consécutifs, lorsque n tend vers l'infini et le système contient un nombre infini de balles et de trous, et on montre un phénomène de transition de phase, lorsque le processus contient de l'ordre de √n trous résiduels. On montre par ailleurs que le modèle est bien défini sur Z, et on explicite également la loi des trous résiduels dans ce cas.

Le sujet principal de cet exposé est le modèle de Schelling, un modèle d'agents qui décrit une dynamique de ségrégation quand nous avons la cohabitation de deux groupes sociaux. Le comportement de ce modèle a été étudié en utilisant plusieurs approches, notamment en utilisant des outils de la physique théorique et de la simulation numérique. Ces approches amènent à conjecturer un diagramme de phase où soit les différents groupes sociaux sont ségrégués dans des clusters macroscopiques, soit ils sont mélangés. D'un point de vue mathématique, à notre connaissance, ce modèle a été étudié pour la première fois par Holden et Sheffield (2020). Dans cet exposé nous allons présenter les résultats que nous avons obtenu concernant l'existence d'une limite hydrodynamique en considérant le modèle de Schelling perturbé par une dynamique de Glauber et une de Kawasaki.
Travail en collaboration avec Florent Barret, Université Paris-Nanterre.

Les pavages sont un modèle de calculs utilisant des tuiles pour former des assemblages capables de faire des calculs d'une complexité équivalente à ceux d'une machine de Turing. En tant que modèle de calcul, les pavages présentent néanmoins un défaut majeur : les tuiles doivent être placées minutieusement pour obtenir l'assemblage souhaité. Les pavages étant utilisés pour étudier des structures nanoscopiques en cristallographie ou pour modéliser l'interaction de brins d'ADN, il est nécessaire d'envisager que l'assemblage ne se déroule pas parfaitement. Nous présenterons deux approches pour gérer ce problème : l'auto-assemblage où les différences possibilités de placement des tuiles lors de l'assemblage sont prises en compte et l'auto-stabilisation où les tuiles peuvent se réorganiser localement pour corriger d'éventuelles erreurs survenues lors de leur placement.

Le modèle de Richardson a été introduit par Richardson en 1973. C'est un modèle de croissance aléatoire, qui peut par exemple modéliser la propagation d'une maladie. On s'intéresse à ce modèle sur le graphe (Z^d, E^d), où E^d est l'ensemble des arêtes orientées entre plus proches voisins de Z^d. Au temps t=0, l'origine est considérée comme un sommet infecté, tous les autres sommets sont considérés comme des sommets sains. Ensuite, à chaque instant t>0, chaque sommet infecté x infecte un voisin sain y au bout d'un temps exponentiel T_(x,y) de paramètre lambda>0, indépendamment des autres sommets. Dans cet exposé, je parlerai du modèle de Richardson avec mélange, qui correspond au modèle de Richardson pour lequel chaque sommet infecté x échange son état d'infection avec un sommet voisin y, à chaque saut d'un processus de Poisson P_(x,y) de paramètre 1, indépendamment des autres sommets. Cela modélise les déplacements des personnes infectées. Je présenterai un théorème de forme asymptotique, démontré par Richardson en 1973 pour le modèle sans mélange, que nous avons démontré pour le modèle avec mélange, pour lambda suffisamment grand, avec mes encadrantes de thèse cette année. Il concerne la forme de l'ensemble des sommets qui ont déjà été infectés au moins une fois au temps t, lorsque t tend vers l'infini.

De nombreuses techniques sophistiquées existent pour montrer l'ergodicité d'ACP à 2 états (coupling, cluster expansions, contracting maps, entropy functions, Fourier, weight functions). Dans cet exposé, nous en introduisons une nouvelle, relativement simple, qui dérive de la technique du couplage, appelée "ilots isolés". Via cette technique, nous donnons une condition suffisante d'ergodicité pour les ACP, un peu complexe, mais algorithmiquement simple à vérifier. En particulier, cette condition permet de retrouver l'ergodicité de 14 des 16 AC avec erreurs symétriques, Bernoulli et indépendantes.